Beilage X.

Beziehung zwischen der Stärke des Mitschwingens und der Dauer des Ausschwingens.

Zu Seite 233.

Wir können die in der Beilage IX gebrauchten Bezeichnungen für die Bewegung einer Masse, die durch eine elastische Kraft in ihre Gleichgewichtslage zurückgeführt wird, beibehalten. Wenn eine solche Masse durch eine äußere periodische Kraft erschüttert wird, ist ihre Bewegung in Gleichung (4a) gegeben. Setzen wir die Intensität A dieser Kraft gleich Null, so reduziert sich die Gleichung (4a) auf

. worin . Der Wert für x wird wegen des Faktors, welcher t im Exponenten enthält, immer kleiner und kleiner. Messen wir t, wie es im Texte geschehen ist, nach der Zahl der Schwingungen des Tones stärkster Resonanz, und setzen wir zu dem Ende

  .........................................(6)

 Wenn wir die lebendige Kraft der Schwingungen zur Zeit t = 0 mit L bezeichnen, und zur Zeit t mit l, so ist

, also

und

...................................................(6a)
 
 

 In der Tabelle auf S. 234 ist L:l = 10:l gesetzt worden, und daraus der Wert von T berechnet, nachdem vorher vermittelst der Gleichung (6) der Wert von b bestimmt war. In Gleichung (6) aber ist sin2 e = 1/10 gesetzt worden, entsprechend der Bedingung, daß die Tonstärke des mitschwingenden Körpers 1/10 ihres Maximums betragen solle, und für das Verhältnis N:n sind die Zahlenverhältnisse gesetzt worden, welche den in der ersten Spalte der Tabelle angegebenen Intervallen entsprechen. So ist der Wert von b berechnet worden.

Die Gleichung (4b) der Beilage IX können wir schreiben:

. In dieser Gleichung können N, welches die Tonhöhe der stärksten Resonanz angibt, b2, welches die Stärke der Reibung bestimmt, und die Masse m für verschiedene Corti'sche Fasern verschieden sein. Man muß also bei der Anwendung auf das Ohr b2 und m als Funktionen von N betrachten. Da nun der Grad der Rauhigkeit der engeren dissonierenden Zusammenklänge bei gleichen Intervallen durch die ganze Skala hin ziemlich derselbe ist, so muß die Größe tan efür gleiche Werte von  nahehin dieselben Werte annehmen, und daher die Größe  ziemlich unabhängig vom Werte von N sein; Genaueres läßt sich darüber freilich nicht bestimmen. Es ist deshalb auch in den später folgenden Rechnungen bals unabhängig von N betrachtet worden.