Beilage XIV.
Schwankung der Tonhöhe bei den Schwebungen einfacher
Töne.
Zu Seite 274.
Es sei die Geschwindigkeit v eines unter dem Einflusse
zweier Töne schwingenden Teilchens
v = A sin (m t) + B sin (nt
+ c),
worin m sehr wenig von n unterschieden sei und A > B.
Wir können dann setzen
n t + c = m t - [(m - n) t - c]
v = {A +B cos [(m—n) t - c]} sin (mt)
- B sin [(m - n) t - c] cos (n t).
Setzen wir
A + B cos [(m — n) t - c] = C cos e
B sin [(m - n) t - c] = C sin e
,
so ist
v = C sin (mt - e),
worin C und e langsam sich ändernde
Funktionen der Zeit t sind, wenn wie vorausgesetzt ist, m
-
n eine im Vergleich mit m kleine Größe ist.
Die Intensität C dieser Oszillation ist
C2 = A2 + 2 AB cos [(m — n)
t — c] + B 2
Sie wird ein Maximum
C2 = (A + B)2 wenn cos
[(m — n) t - c] = + l,
dagegen ein Minimum
C 2 = (A - B)2, wenn cos [(m
— n) t - c] = - l.
Die veränderliche Phase e der Bewegung
wird gegeben durch folgende Gleichung:
Wenn A > B, wird diese Tangente niemals unendlich groß,
und e bleibt
deshalb jedenfalls zwischen den Grenzen +
und -
eingeschlossen, denen es sich abwechselnd nähert. So lange der Wert
von e steigt, wächst mt-e langsamer
als mt, so lange jener Wert fällt, wächst dieses
schneller, dort wird also der Ton tiefer, hier höher werden müssen.
Die mit 2pmultiplizierte Schwingungszahl
des veränderlichen Tones ist unter diesen Umständen gleich
.
Die Grenzwerte hiervon treten ein, wo cos [(m - n) t - c] seine
Grenzwerte, +l und -l, erreicht, und also auch die Tonstärke ein Maximum
oder Minimum ist.
l) Wenn die Tonstärke in Maximo, ist die Schwingungszahl
,
2) wenn die Tonstärke in Minimo, ist die Schwingungszahl
Im ersteren Falle liegt also die Tonhöhe des veränderlichen Tones
zwischen denen der beiden einzelnen Töne. Während des Minimums
der Tonstärke dagegen ist sie höher als beide Einzeltöne,
wenn der stärkere Ton gleichzeitig der höhere ist, dagegen tiefer
als beide, wenn der stärkere Ton der tiefere ist.
Mit zwei gedackten Pfeifen hört man diese Unterschiede gut. Auch
mit zwei Stimmgabeln, wenn man abwechselnd die höhere oder tiefere
der Resonanzröhre näher bringt.