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Es seien a, b, c, d, e, f, g, h ganze Zahlen. Die Schwingungszahlen zweier zugleich angegebener Klänge seien an und bn + d , wo d als sehr klein gegen n vorausgesetzt wird, und a und b die kleinsten ganzen Zahlen sind, in denen das Verhältnis a:b ausgedrückt werden kann. Die Schwingungszahlen je zweier Obertöne dieser Klänge werden sein:
Ebenso geben der 2bte Teilton des ersten und der 2ate des zweiten, Klanges 2ad Schwebungen etc.
Die beiden Obertöne
Zwei andere Obertöne (f a n) und (g b n + g d) geben den Kombinationston
Um die niedrigsten Werte der Obertöne zu finden, welche vorhanden sein müssen, um mit Hilfe der ersten Differenztöne Schwebungen zu geben, wählen wir für c und d das untere Zeichen, wir erhalten dann:
oder oder
Wenn einfache Töne zusammenkommen, rühren die Schwebungen von den Kombinationstönen höherer Ordnung her. Der allgemeine Ausdruck für einen Differenzton höherer Ordnung zweier Töne von den Schwingungszahlen n und m ist ±[a n – b m ], und zwar ist dieser Ton dann von der ( a + b – 1)ten Ordnung. Die Schwingungszahl eines Kombinationstones ( c + d - 1)ter Ordnung der Töne a n und [bn + d ] sei:
.
Über die Entstehungsweise der Kombinationstöne will ich hier zu dem im siebenten Abschnitte Bemerkten noch Folgendes hinzufügen:
Kombinationstöne müssen erstens überall entstehen, wo die Entfernung der schwingenden Teile ans ihrer Gleichgewichtslage so groß wird, daß die Kraft, welche sie zurückzuführen strebt, nicht mehr einfach jener Entfernung proportional ist. Die mathematische Theorie dieses Falles für einen schwingenden Massenpunkt ist oben in Beilage XII gegeben. Dasselbe ist der Fall für Luftschwingungen von endlicher Größe; die Grundzüge der Theorie sind angegeben in meinem Aufsatze über Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden, Crelle's Journal für Mathematik, Bd. LVII, S. 14. (Wiss. Abh. Bd. I, S. 303.) Ich will hier aber noch auf einen dritten Fall aufmerksam machen, wo Kombinationstöne auch bei unendlich kleinen Schwingungen entstehen können, was oben (S. 259 bis 261) schon erwähnt ist. Es ist das der Fall der Sirenen und des Harmonium. Wir haben hier Öffnungen, deren Weite periodisch wechselt, (und haben auf der einen Seite Luft unter größerem Druck als auf der anderen. Da es sich hier immer nur um sehr kleine Druckunterschiede handelt, werden wir annehmen dürfen, daß die Masse q der entweichenden Luft proportional sei der Größe der Öffnung w und dem Druckunterschiede p, also
B = c A p.
= c A P [l - sin 2 p n t - sin 2 p m t - 1/2 cos 2 p (m + n) t
+ 1/2 cos 2 p(m - n) t];
In Wirklichkeit werden nun die Gleichungen immer viel komplizierter werden, als ich sie hier: hingestellt habe, um den Vorgang in seiner einfachsten Gestalt darzustellen. Es wird der Ton n ebenso gut Einfluß auf den Druck p haben wie m, ja sogar die Kombinationstöne werden p verändern, endlich wird meistens die Größe der Öffnung nicht durch eine so einfache periodische Funktion, wie wir für w angenommen haben, ausgedrückt werden können. Dadurch muß denn bewirkt werden, daß außer den Tönen m, n, m + n, m - n auch ihre Obertöne und die Kombinationstöne ihrer Obertöne zum Vorschein kommen, wie es bei den Versuchen auch beobachtet werden kann. Die vollständige Theorie eines solchen Falles wird außerordentlich kompliziert, es möge daher die des genannten einfachen Falles genügen, an dem das Wesen des Vorganges wenigstens klar wird.
Einen anderen Versuch, dessen Erklärung ähnlich ist, will ich hier noch erwähnen. Der untere Kasten meiner Doppelsirene klingt stark mit, wenn die Gabel a' vor seine untere Öffnung gehalten wird, und die Löcher alle gedeckt sind, nicht aber, wenn die Löcher einer Reihe offen sind. Läßt man nun die Sirenenscheibe rotieren, so daß die Löcher abwechselnd. offen und gedeckt sind, so erhält man eine Resonanz der Stimmgabel von periodisch wechselnder Stärke. Ist n die Schwingungszahl der Gabel, m die Zahl, welche angibt, wie oft ein einzelnes Loch des Kastens geöffnet wird, so ist die Stärke der Resonanz eine periodische Funktion der Zeit, also im einfachsten Falle zu setzen gleich
- 1/2 cos 2 p (n - m) t